Apa Pengertian dan Rumus Anti Turunan Integral

Yang dimaksud dengan integral adalah bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu.
Ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu.
Anti turunan tak tentu adalah kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I yakni, jika F'(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu ujung titik ujung dari I, F'(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).Kita menggunakan istilah “suatu anti turunan” daripada “anti turunan” dalam definisi, karena jika suatu fungsi f mempunyai suatu anti turunan, ia akan mempunyai keseluruhan famili dan setiap anggota dari famili ini dapat diperoleh dari salah satu di antara mereka dengan jalan menambahkan suatu konstanta yang cocok. Famili fungsi ini kita namakan anti turunan umum dari f. Setelah kita terbiasa dengan definisi ini, seringkali kita akan menghilangkan kata sifat umum itu.

Notasi untuk anti turunan bisa memakai Ax, contoh :
Ax (x3) = 1/4 x 4+ C
Tetapi, notasi Leibniz lebih populer sehingga pemakaian lambang ∫…dx lebih sering digunakan, contohnya :
∫ x3 dx = 1/4 x 4 + C

Teorema A
(Aturan Pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
∫ xr dx = xr + 1 / (r + 1) + C

Teorema B
∫ sin x dx = – cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C

Teorema C
(Kelinearan dari ∫… dx) Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka :

  • ∫ k f(x)dx = k ∫ f(x) dx;
  • ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx;
  • ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx;

Teorema D
(Aturan Pangkat Yang Diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka:

∫ [g(x)]r g'(x) dx = [g (x)]r + 1 / (r + 1) + C

Contoh soal Anti Turunan Integral:

Soal No.1) Carilah integral tak tentu dari f(x) = ∫ (5x2 – 12)13 10x2 dx

Jawaban :
∫ [g(x)]r g'(x) dx = [g (x)]r + 1 / (r + 1) + C
Andaikan g (x) = 5x2 – 12 maka g’ (x) = 10x
Jadi, menurut Teorema D:
∫ (5x2 – 12)13 10x2 dx = ∫ [g(x)]13 g'(x) dx = [g (x)]13 + 1 / (13+ 1) + C
= 1/14(5x2 – 12)14 + C

Soal No. 2) Carilah ∫ Sin4 x cos x dx

Jawab :
Andaikan g(x) = sin x maka g’ (x) = cos x, berdasarkan teorema B dan D:
∫ sin4 x cos x dx = ∫ [g(x)]4 g'(x) dx = [g (x)]4+1 / (4+1) + C
= 1/5 sin5 x + C

Soal No. 3). Hitunglah integral tak tentu dari: ∫ sin (2x + 1)

Jawaban:
Andaikan u = (2x + 1) maka du = 2 dx
∫ sin (2x + 1) = ½ ∫ sin u du = -1/2 cos u + C
= -1/2 cos (2x + 1) + C

Soal No. 4) Cari ∫ (4x 2 + 4x ) dx !

Jawab :
Berdasarkan Teorema C:
∫ (4x 2 + 4x ) dx = ∫ 4x2 dx + ∫ 4x dx
∫ (4x 2 + 4x ) dx = 4 ∫ x2 dx + 4 ∫ x dx
= 4 (1/3x3+ C1) + 4 (1/2x2+ C2)
= 4/3 x3 + 2x2 + (4 C1 + 4C2)
= 2x3 + 2x2 + C

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *