Menjelaskan Contoh Soal Deret Aritmatika dengan singkat

Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, …
Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Jawab:

n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500

  1. Jumlah suku yang pertama dari barisan 20 + 15 + 10 +…… adalah …..

a). -550

b). -250

c). -75

d). -115

c). -250

Penyelesaian :

a = 20

b = U2-U1

   = 15-20

   =   -5

Sn =  n (a + Un)

Un = a + (n – 1) b

U20 = 20 + (20-1)(-5)

        = 20 + (19) (-5)

        = 20 – 95

        = – 75

S20 =  . 20 (20 + (-75))

       = 10 (-55)

S20 = – 550

Jawaban : A

2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah …..

a). 105

b). 120

c). 150

d). 155

e). 165

Penyelesaian :

a = 3

b = U3 – U2 – 1

   = U3 – U2

   = 7 – 5

 = 2

Sn =  n (2a + (n-1)b)

     =  10 (2 (5) + (10-1)2)

     = 5 (6+9) 2

     = 120

 Jawaban : B

  1. Jika jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 6 dan rasionya – , maka suku pertamanya adalah …..

a). 2

b). 3

c). 8

d). 10

e). 12

Penyelesaian :

S =

6 =

6 =

6 =

6 =

6 =

6 x a => 6 x 5 =  = 10

Jawaban : D

  1. Jumlah tak hingga deret geometri adalah 6 + 2 +  +  adalah …..

a). 7

b). 6

c). 9

d). 10

e). 18

S =

a = 6

r =  =  =

S2 =  =  = 6

S2 = 6 x  =  = 9

Jawaban : C

  1. Diketahui barisan aritmatikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu adalah …..

a). 345

b). 44

c). 49

d). -40

e). -44

Penyelesaian :

Un = a + (n-1)b

= a + (4-1)b = 11

= a + 36 = 11

U8 = a + (8-1)b = 23

= a + 7b = 23

Eliminasi a + 3b = 11

                a + 7b = 23

                     -4b = -12

                         b =  = 3

Substansi a + 3b = 11

                a + 3 (3) = 11

                a + 9 = 11

                      a = 11 – 9 = 2

U15

Un = a + (n-1) b

U15 = 2 + (15-1) 3

        = 2 + (14 x 3) = 44

Jawaban : B

  1. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U2 = 7 dan U6 = 19. Suku ke 8 dari barisan aritmatika tersebut adalah …..

a). 25

b). 26

c). 28

d). 31

e). 34

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b

U2 = a + (2-1) b = 7

      = a + 1b = 7

U6 = a + (6-1)b = 19

       = a + 5b = 19

Eliminasi :

a + 1 b = 7

a + 5b = 19

 -4b = -12

b = –  = 3

 Subtitusi :

b = 3

a + 1 b = 7

a + 1 (3) = 7

a + 3 = 7

a = 7 -3 = 4

U8

Un = a + (n-1) b

U8 = 4 + (8-1) 3

= 4 + (7 . 3)

= 25

Jawaban : A

  1. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U10 = 41 dan U5 = 21. U20 barisan tersebut adalah …..

a). 69

b). 73

c). 77

d). 81

e). 83

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b

U10 = a + (10-1)b = 41

U5 = a + (5-1)b = 21

a + 4b = 21

eliminasi :

a + 9b = 41

a + 4b = 21

5b = 20

b =  = 4

subtitusi :

b = 4

a + 9b = 41

5 +a + (9.4) = 41

a + 36 = 41

a = 41- 36

= 5

U20

Un = a + (n-1)b

U20 = a + (n-1) b

U20 = 5 + (20+1) 4

        = 5 + (19.4)

        = 5 + 76

         = 81

Jawabannya : d).

  1. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikan sebesar Rp 5.000,00jika gaji pertama gajian tersebut Rp. 100.000 …..

a). Rp. 1.205.000

b). Rp. 1.255.000

c). Rp. 260.000.000

d). Rp. 1.530.000

Penyelesaian :

Sn =  n (2a + (n-1) b

12 (2 . 100.000) +(12-1)5000

= 6 (200.000+55.000)

= 6 (225.000) = 1.530.000

Jawabannya : d). 1.530.000

  1. Sebuah perusahaan mempunyai peluang untuk menjual hasil pproduksinya0,65 jika di produksi 2.500.000unit brang, maka diperkiraan banyak hasil produksi yang tidak terjual adalah …..

a). 625.000 unit

b). 875.000 unit

c). 1.125.000 unit

d). 1.375.000 unit

e). 1.625.000 unit

Penyelesaian :

 . 2.500.000= 1.625.000

2.500.000 – 1.625.000 = 875.000 unit

Hasil produk yang terbaik terjual adalah

Jawaban : B

  1. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5000 unit barang, pada tahun-tahun berikutnyaproduksinya turun secara tetap80 unit per tahun. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit barang?

a). 24

b). 25

c). 26

d). 27

e). 28

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b

3000 = 5000 + (n-1) (-80)

3000 = 5000 + (80n) + (80)

80n = 5000 – 3000 + 80

80n = 2000 + 80

80n = 2080

n = 2080 : 80 = 26

Jawaban : C

 

  1. Seorang pemilik kebun memetik jeruknya setiap hari,dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un= 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah …..

a).2000

b).1950

c).1900

d).1875

e).1825

Penyelesaian :

Sn =  n (2a +(n-1)b)

S10 =  10 (2.75+(10-1)25)

S10 = 5 (150+(9.25)

S10 = 5 (150+225)

S10 = 5 (375)

S10 = 1875 buah

Jawaban : D

  1. Dua piluh pekerja mendapat upah harian dengan hasil pekerjaannya sebagai berikut : pekerja 1 mendapat Rp.12.000, pekerja 2 mendapat Rp.12.500, pekerja 3 mendapat Rp.13.000 dan seterusnya hingga upah tersebut membentuk deret aritmatika. Jumlah upah satu hati yang harus disiapkan oleh pemberi upah adalah …..

a).Rp. 670.000

b).Rp. 340.000

c).Rp. 335.000

d).Rp. 220.000

e).Rp. 700.000

Penyelesaian :

Sn =  n (2a + (n-1)b)

S20 =

20 (2.12000+(20-1)500)

       =  20 (24000+19)500)

       = 10 (24000+9500)

       = 10 (33.500)

       = 335.000

Jawabannya : C

  1. Diketahui Barisan geometri dengan suku pertama 2  dan suku ke 5 = 640,maka rasionya adalah …..

a).2

b).8

c).1

d).4

Penyelesaian :

a = 2

Un = a.r n-1

640 = 2  . r s-1

 =  r4

256 = r4

R4 = 256

R = 4

Jawaban : D

  1. Jika suku pertama suatu barisan geometri = 16 dan suku ketiga = 36, maka besar suku kelima adalah …..

a).-81

b).-52

c).-46

d).46

e).81

Penyelesaian :

a = 16

U3 = 36

Un = a r n-1

U3 = 16.r3-1

36 = 16.r2

 = r2

R2 =

r =

r =

r =

U5 = 16 ( )r-1

      = 16 ( )4

 = 16 .

      = 81

Jawaban : E

  1. Seseorang berjalan kaki dengan kecepatan 8km/jam pada jam pertama. Kemudian pada jam keduakecepatan menjadi setengahnya dari jam pertama,demikian seterusnya. Jarak terjauh yang ditempuh orang tersebut adalah …..

a).4

b).8

c).12

d).14

e).16

Penyelesaian :

U1 = 8

U2 = 4

r =  =  =

S2 =

     =

     =  x

     = 16

Jawaban : E

Contoh 2.1

  1. 1, 2, 3,… merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.
  2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.
  3. 1, -1, 1, -1,…. bukan barisan aritmatika sebab

U2 – U1 = -1 – 1 = -2 ? 2 = 1 – (-1) = U3 – U2

  1. Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2.

Tentukan unsur ke 1, ke 3, dan ke 4 dari barisan itu.

Penyelesaian:

Karena b = Un – Un-1 = 2, maka U2 – U1 = 2. Jadi U1 = U2 – 2 = 10 – 2 = 8.

Secara sama diperoleh U3 – U2 = 2 = b. Jadi U3 = U2 + b = 10 + 2 = 12, dan

U4 = U3 + b = 12 + 2 = 14.

Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika

Jika U1 = a, U2, U3,…, Un,… merupakan barisan aritmatika, maka unsur

ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.

U1 = a

U2 = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

?

Un = a + (n-1)b

Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur

pertama a dan beda b adalah:

Un = a + (n-1)b

Contoh 2.2

Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2.

Tentukan unsur ke 7 barisan itu.

Penyelesaian:

Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n-1)b,

diperoleh

U2 = a + (2-1)b

U2 = a + b

a = U2 – b

= 10 – 2

= 8.

U7 = a + (7-1) b

= a + 6 b

= 8 + 6 (2)

= 8 + 12

= 20.

Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.

Contoh 2.3

Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun

tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun

2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak

Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya

naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada

akhir tahun 2005?

Penyelesaian:

Misalkan:

a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.

b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun.

P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.

Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.

Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap

akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak

Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari

barisan aritmatika dengan

U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.

P2005 = U6 = a + 5b

= 6.000.000 + 5(500.000)

= 6.000.000 + 2.500.000

= 8.500.000.

Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005

adalah Rp 8.500.000,-

Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang

terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.

Contoh 2.4

Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +….

Penyelesaian:

Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh

karena itu dengan menggunakan rumus Sn =

1

2

n[2a + (n -1)b] diperoleh:

S25 =

1

2

(25) [2(3) + (25 -1)(3)]

=

25

2

[6 + 24(3)]

=

25

2

(6 + 72)

= 25 (39)

= 975.

Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975.

Contoh 2.5

Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100.

Penyelesaian:

Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.

Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertamatama

kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n

dengan menggunakan rumus:

Un = a + (n – 1) b

99 = 51 + (n – 1)(2)

99 = 51 + 2n – 2

99 = 49 + 2n

2n = 99 – 49

n = 25.

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,

Sn =

1

2

n[2a + (n -1)b]

diperoleh:

S25 =

1

2

(25)[2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24)

= 25(75)

= 1.875.

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.