Contoh soal pertidaksamaan kuadrat dan pembahasannya

Cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat diawali dengan menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Cara menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat masih sama dengan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Hanya saja diperlukan langkah dengan mengambil harga nol nya.

Untuk metode yang digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat bisa menggunakan metode pemfaktoran, menggunakan rumus abc, atau metode melengkapkan kuadrat sempurna.

Setelah mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat, langkah berikutnya adalah menggambar garis bilangan yang sesuai dan menentukan titik uji. Titik uji digunakan untuk menentukan daerah pada garis bilangan tersebut, apakah positif atau negatif. Setelah mendapatkan daerahnya, langkah berikutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0

dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

Langkah-Langkah Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat:

  • Menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat yang memenuhi harga nol
  • Membuatgaris bilangan
  • Menentukan titik uji
  • Menentukan tanda untuk masing-masing daerah penyelesaian
  • Menentukan himpunan penyelesaian

1. Tentukanlah HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0

Jawab
Pembuat nol
x² − 2x − 3 = 0
(x+1) (x−3) = 0
x = −1 atau x = 3

Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0
x² − 2x − 3 = (0)² − 2(0) − 3 = −3 (−)

 

 

 

Karena pertidaksamaan bertanda “≥” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}

2. x(3x + 1) < (x + 1)² − 1

Jawab
Terlebih dulu ubah dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat yaitu:
x(3x + 1) < (x + 1)² − 1
⇔ 3x² + x < x² + 2x + 1 − 1
⇔ 2x² − x < 0

Pembuat nol :
2x² − x = 0
x ( 2x − 1 ) = 0
x = 0 atau x = 1/2

Untuk interval x > 1/2 maka ambil x = 1
2x² − x = 2(1)² − 1 = 1 (+)

 

 

 

Sebab pertidaksamaan bertanda “<” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x < 1/2}

3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – x  – 12 > 0, R = …..

A. {x I x < -3  atau x > 4, x  R}
B. {x I -3 < x < 4, x  R}
C. {x I x < -1  atau x > 6, x  R}
D. {x I -2 < x < 6, x  R}
E. {x I -4 < x < 3, x  R}

Pembahasan:

x2 – x  – 12 > 0, R =

(x + 3) (x -4) > 0 =

x = -3 atau x = 4

+++ 3  – – –   4 +++

HP {x I x < -3  atau x > 4, x  R}

4. Himpunan penyelesaian x2 – x  – 6 > 0 untuk x  R =

A. {x I x < -2  atau x > 3, x  
R}
B. {x I x < -3  atau x > 2, x  R}
C. {x I x < -1  atau x > 6, x  R}
D. {x I -2 < x < 3, x  R}
E. {x I -1 < x < 6, x  R}

Pembahasan:

x2 – x  – 6 > 0

(x + 2) (x -3) > 0

x = -2 atau x = 3

+++ -2  – – –   3 +++

{x I x < -2  atau x > 3, x  R}

5. Himpunan penyelesaian x2 – x  – 6 < 0 = ……

A. {x I x ≤ -3  atau x ≥ 2 }
B. {x I x ≤ -2  atau x ≥ 3 }
C. {x I -3 ≤ x ≥ 2 }
D. {x I -2 ≤ x ≥ 3 }
E. {x I 2 ≤ x ≥ 3 }

Pembahasan:

x2 – x  – 6 < 0

(x + 3) (x -2)< 0

x = -3 atau x = 2

+++ -3  – – –  2 +++

{x I -2 ≤ x ≥ 3 }

6. Penyelesaian dari pertidaksamaan -x2 + 2x + 35 > 0 adalah …

a. -5 < x < 7

b. 7 < x < 5

c. -7 < x < -5

d. -5 < x < -7

e. 7< x <-5

Jawab :

Pertama kita gambar grafik fungsi f(x) = -x2 + 2x + 35

karena a < 0 maka parabola membuka ke bawah

Titik potong grafik dengan sumbu x

f(x) = 0

-x2 + 2x + 35 = 0

x2 – 2x – 35 = 0

(x – 7)(x + 5) = 0

x = 7 atau x = -5

Karena yang diinginkan -x2 + 2x + 35 > 0 maka bagian yang memenuhi adalah yang di atas sumbu x

 Jadi nilai x yang memenuhi -x2 + 2x + 35 > 0 adalah -5 < x < 7 (A)